Измерение коэффициента нелинейных искажений. Искажения в усилителях Паспортная шумовая мощность
В отдельных случаях при проведении ремонта радиоэлектронных устройств требуется расчет коэффициента гармоник. Данная характеристика может быть измерена и оценена с помощью относительно несложных математических расчетов. О процессах измерениях и часто применяемых формулах рассказывается в нашем прикладном обзоре. Он сможет вам помочь, если вы захотите установить дополнительные устройства в медиасистему автомобиля. Для этого потребуется наверняка коэффициент гармоник усилителя.
Учитывайте параметр, если подразумевается подключение к системе наушников. Современные магнитолы позволяют их интегрировать через Bluetooth. Измеритель поможет оценить работу.
Оценка нелинейных помех – что это, порядок расчета и измерений
Коэффициент нелинейных искажений (КНИ) является математическим инструментом, «сверткой», позволяющим оценить в количественной форме нежелательные изменения сигнала. Искажением является, в свою очередь, характеристика, описывающая несовпадение сигнала, описываемого теоретической или идеальной системой и реальными условиями. КНИ также используется для оценки качества проводки, характеристик подключенных устройств, которые в совокупности генерируют помехи.
Основная задача при сборке состоит в минимизации параметра линейных помех. Достичь идеальных параметров невозможно, но можно к ним приблизиться и обеспечить либо стабильное напряжение, либо чистый и красивый звук, в зависимости от задач. Это реализуется при подключении усилителей, основным условием которого считается необходимость снижения помех.
Чтобы понять, о чем идет речь в совокупности, стоит упомянуть возможные виды изменений:
- нелинейные;
- фазовые;
- частотные;
- динамические;
- перекрестные;
- взаимомодуляционные;
- краевые.
Некоторые из перечисленных являются комплексной характеристикой, в совокупности которые можно оценить при помощи того же параметра нелинейных помех. По сути, данная характеристика является универсальной для всех радиоэлектронных и электрических систем и сетей. С помощью предложенной методики вы сможете оценить коэффициент гармоник напряжения.
Основные формулы
КНИ является безмерной величиной. Представляет собой соотношение среднеквадратичной суммы спектральных характеристик выходного сигнала, которые отсутствуют во входном спектре, и среднеквадратичной суммы всех компонент спектра входного сигнала (первой гармонической составляющей). Проще говоря, параметр оценивает отношения спектральных помех, появившихся в выходном сигнале, но отсутствующих во входящем, ко всему спектру. Чем меньше помех, тем меньше будет КНИ.
Если в технической документации приводится КНИ, то можно оценить качество и характер сборки прибора. Характеристику также можно измерить, она позволит оценить величину помех в оцениваемой системе. Иными словами – можно достаточно точно определить влияющие помехи.
Отметим, что наряду с КНИ используется и другой оценочный параметр гармонических искажений (КГИ). Его же часто упоминают как коэффициент высших гармоник, так как он выражается соотношением среднеквадратичным напряжением суммы высших гармоник сигнала, за исключением первой, к напряжению первой гармоники при синусоидальном воздействии. Иными словами, оцениваются скачки сигнала.
В свою очередь есть характеристика, оценивающая в процентах «связность» КНИ с КГИ и их соотношение. Нужно отметить, что при малых помехах они практически равны, но помогают оценить более сильные помехи и их характер.
Расчет КНИ и КГИ
Измерение коэффициента гармоник основано на том, что для получения характеристики могут использоваться экспериментальные и оценочные данные. Для многих систем могут быть оценены аналитически, так как известны начальные и конечные условия. Многие начинающие радиолюбители могут возразить или удивиться, но это действительно так. КНИ и КГИ закладывается как характеристика в момент проектирования любой схемы устройств. То есть помехи подразумеваются, как решением, так и используемыми компонентами.
Например:
- для меандра или симметричного прямоугольного сигнала КНИ приравнивается к 48,3 %;
- пилообразный сигнал, приближенный к идеальному имеет КГИ 80,3%;
- симметричный треугольный – 12,1%.
Соответственно, отличия от этих значений являются ненормативными и оцениваются как помехи тока, требующие устранения.
Для удобства расчетов имеется еще один параметр μ , который характеризует несимметричный прямоугольный импульсный сигнал с соотношением длительности импульса к периоду:
КГИ достигает минимума в 0,483 при μ=0.5 и сигнал становится близким к синусоидальному меандру. По этому принципу не только изменяют с помощью фильтрации типы сигналов, но и устраняют нежелательные изменения, что особенно актуально для усилительной и аудиоаппаратуры.
Оценка КНИ и КГИ позволяет оценить чистоту спектра сигнала любого устройства, включая усилители, ПЛИСы, микроконтроллеры, наушники и гарнитуры. КГИ позволяет контролировать алгоритмы многих радиоэлектронных и цифровых компонентов, передающих аналоговые сигналы.
Оценка проводится с помощью цифровых осциллографов. Перед использованием оценивается с помощью расчета КГИ по спектру и получаются данные на измерителе, чтобы определить его пригодность для экспериментов.
В домашних условиях это можно сделать двумя способами с помощью косвенных измерителей:
- подать выходное напряжение и масштабированное входное на вычитатель и оценить на осциллографе, включая шумы и наводки тока;
- использовать перестраиваемый резонансный усилитель и выделить необходимый участок для оценки.
Первый вариант является более простым, но связан больше с эвристической оценкой. Но лучший измеритель коэффициента гармоник – это цифровой осциллограф, подключенный к компьютеру, выдающий окончательный показатель значения параметров тока и напряжения, в том числе, оценивающий высшие гармонические пики в численном виде.
При усилении электрических сигналов могут возникнуть нелинейные, частотные и фазовые искажения.
Нелинейные искажения представляют собой изменение формы кривой усиливаемых колебаний, вызванное нелинейными свойствами цепи, через которую эти колебания проходят.
Основной причиной появления нелинейных искажений в усилителе является нелинейность характеристик усилительных элементов, а также характеристик намагничивания трансформаторов или дросселей с сердечниками.
Появление искажений формы сигнала, вызванных нелинейностью входных характеристик транзистора, иллюстрируется на графике рис.1. Предположим, что на вход усилителя подан испытательный сигнал синусоидальной формы. Попадая на нелинейный участок входной характеристики транзистора, этот сигнал вызывает изменения входного тока, форма которого отличается от синусоидальной. В связи с этим и выходной ток, а значит, и выходное напряжение изменят свою форму по сравнению с входным сигналом.
Чем больше нелинейность усилителя, тем сильнее искажается им синусоидальное напряжение, подаваемое на вход. Известно (теорема Фурье), что всякая несинусоидальная периодическая кривая может быть представлена суммой гармонических колебаний и высших гармоник. Таким образом, в результате нелинейных искажений на выходе усилителя появляются высшие гармоники, т.е. совершенно новые колебания, которых не было на входе.
Степень нелинейных искажений усилителя обычно оценивают величиной коэффициента нелинейных искажений (коэффициента гармоник )
где
- сумма электрических мощностей,
выделяемых на нагрузке гармониками,
появившимися в результате нелинейного
усиления;
- электрическая мощность первой гармоники.
В тех случаях, когда сопротивление нагрузки имеет одну и ту же величину для всех гармонических составляющих усиленного сигнала, коэффициент гармоник определяется по формуле
,
где
-
и т.д. – действующие или амплитудные
значения первой, второй, третьей и т.д.
гармоник тока на выходе;
и т.д. действующие или амплитудные
значения гармоник выходного напряжения.
Коэффициент
гармоник обычно выражают в процентах,
поэтому найденное по формулам значение
следует умножить на 100. Общая величина
нелинейных искажений, возникающих на
выходе усилителя и созданных отдельными
каскадами этого усилителя, определяется
по приближенной формуле:
где
-
нелинейные искажения вносимые каждым
каскадом усилителя.
Допустимая
величина коэффициента гармоник всецело
зависит от назначения усилителя. В
усилителях контрольно-измерительной
аппаратуры допустимое значение
коэффициента гармоник
составляет десятые доли процента.
Частотные называются искажения , обусловленные изменением величины коэффициента усиления на различных частотах. Причиной частотных искажений является присутствие в схеме реактивных элементов – конденсаторов, катушек индуктивности, междуэлектродных емкостей усилительных элементов, емкости монтажа и т.д.
Для примера на рис. 2 показана амплитудно-частотная характеристика УНЧ.
Рис. 2. Амплитудно-частотная Рис. 3. Фазочастотная характеристика
характеристика УНЧ. усилителя.
При построении амплитудно-частотных характеристик частоту по оси абсцисс удобнее откладывать не в линейном, а в логарифмическом масштабе. Для каждой частоты фактически по оси откладывается величина lg f , а подписывается значение частоты.
Степень
искажений на отдельных частотах
выражается коэффициентом
частотных искажений
М,
равным
отношению коэффициента усиления на
данной частоте
Обычно наибольшие частотные искажения возникают на границах диапазона частот f н и f в. Коэффициенты частотных искажений в этом случае равны
,
где К н и К в – соответственно коэффициенты усиления на нижних и верхних частотах диапазона.
Для усилителей низкой частоты идеальной частотной характеристикой является горизонтальная прямая линия (линия АВ на рис. 2).
где К н и К в - соответственно коэффициенты усиления на нижних и верхних частотах диапазона. Из определения коэффициента частотных искажений следует, что если М > 1, то частотная характеристика в области данной частоты имеет завал, а если М < 1, - то подъем. Для усилителя низкой частоты идеальной частотной характеристикой является горизонтальная прямая (линия АВ на рис. 12.5).
Коэффициент частотных искажений многокаскадного усилителя равен произведению коэффициентов частотных искажений отдельных каскадов
М = М 1 М 2 М 3 . ..М n .
Следовательно, частотные искажения, возникающие в одном каскаде усилителя, могут быть скомпенсированы в другом, чтобы общий коэффициент частотных искажений не выходил за пределы заданного. Коэффициент частотных искажений, так же как и коэффициент усиления, удобно выражать в децибелах:
М ДБ = 20lgМ .
В случае многокаскадного усилителя
М ДБ = М 1 ДБ + М 2 ДБ + М 3 ДБ +…+ М n ДБ
Допустимая величина частотных искажений зависит от назначения усилителя. Для усилителей контрольно-измерительной аппаратуры, например, допустимые искажения определяются требуемой точностью измерения и могут составлять десятые и даже сотые доли децибела.
Следует иметь в виду, что частотные искажения в усилителе всегда сопровождаются появлением сдвига фаз между входным и выходным сигналами, т. е. фазовыми искажениями. При этом под фазовыми искажениями обычно подразумевают лишь сдвиги, создаваемые реактивными элементами усилителя, а поворот фазы самим усилительным элементом во внимание не принимается.
Фазовые искажения, вносимые усилителем, оцениваются по его фазочастотной характеристике, представляющей собой график зависимости угла сдвига фазы φ между входным и выходным напряжениями усилителя от частоты рис. 3. Фазовые искажения в усилителе отсутствуют, когда фазовый сдвиг линейно зависит от частоты. Идеальной фазочастотной характеристикой является прямая, начинающаяся в начале координат – пунктирная линия на рис. 3. Фазочастотная характеристика реального усилителя имеет вид, показанный на рис. 3. сплошной линией.
В ся история звуковоспроизведения складывалась из попыток приблизить иллюзию к оригиналу. И хотя путь пройден громадный, до полного приближения к живому звуку еще очень и очень далеко. Отличия по многочисленным параметрам могут быть измерены, но и не мало их остается пока вне поля зрения разработчиков аппаратуры. Одной из главных характеристик, на которую потребитель с любой подготовкой всегда обращает внимание, является коэффициент нелинейных искажений (КНИ) .
И
какая же величина этого коэффициента достаточно объективно свидетельствует
о качестве устройства? Нетерпеливые могут сразу найти попытку ответа
на этот вопрос в конце. Для остальных продолжим.
Этот коэффициент, который еще называют коэффициентом общих гармонических
искажений, представляет собой выраженное в процентах отношение эффективной
амплитуды гармонических составляющих на выходе устройства (усилителя,
магнитофона и т.п.) к эффективной амплитуде сигнала основной частоты
при воздействии на вход устройства синусоидального сигнала этой
частоты. Таким образом, он позволяет количественно оценить нелинейность
передаточной характеристики, которая проявляется в появлении в выходном
сигнале спектральных составляющих (гармоник), отсутствующих во входном
сигнале. Другими словами, происходит качественное изменение спектра
музыкального сигнала.
Кроме объективных гармонических искажений, присутствующих в слышимом звуковом сигнале, существует проблема искажений, которые отсутствуют в реальном звуке, но ощущаются из-за субъективных гармоник, возникающих в улитке среднего уха при больших величинах звукового давления. Слуховой аппарат человека является нелинейной системой. Нелинейность слуха проявляется в том, что при воздействии на барабанную перепонку синусоидального звука с частотой f в слуховом аппарате зарождаются гармоники этого звука с частотами 2f, 3f и т.д. Поскольку в первичном воздействующем тоне этих гармоник нет, они получили название субъективных гармоник.
Естественно, это еще больше осложняет представление о предельно допустимом уровне гармоник звукового тракта. При увеличении интенсивности первичного тона величина субъективных, гармоник резко возрастает и может даже превысить интенсивность основного тона. Это обстоятельство дает основание для предположения о том, что звуки с частотой менее 100 Гц ощущаются не сами по себе, а из-за создаваемых ими субъективных гармоник, попадающих в область частот свыше 100 Гц, т.е. из-за нелинейности слуха. Физические причины возникающих аппаратных искажений в различных устройствах имеют разную природу, и вклад каждого в общие искажения всего тракта неодинаков.
Искажения
современных CD-проигрывателей имеют очень низкие значения и практически
незаметны на фоне искажений других блоков. Для акустических систем
наиболее существенными являются низкочастотные искажения, обусловленные
басовой головкой, и стандартом оговариваются требования только для
второй и третьей гармоник в области частот до 250 Гц. И для очень
хорошо звучащей акустической системы они могут быть в пределах 1%
или даже несколько больше. В аналоговых магнитофонах главной проблемой,
связанной с физическими основами записи на магнитную ленту, является
третья гармоника, значения которой обычно и приводятся в инструкции
для сведения. Но максимальное значение, при котором, например,
всегда производятся измерения уровня шумов, это 3% для частоты 333
Гц. Искажения же электронной части магнитофонов значительно ниже.
Как в случае акустики, так и для аналоговых магнитофонов, благодаря
тому, что искажения в основном низкочастотные, субъективная заметность
их сильно падает из-за эффекта маскировки (который заключается в
том, что из двух одновременно звучащих сигналов лучше слышен более
высокочастотный).
Так что главным источником искажений в вашем тракте будет усилитель мощности, в котором, в свою очередь, основным является нелинейность передаточных характеристик активных элементов: транзисторов и электронных ламп, а в трансформаторных усилителях также добавляются нелинейные искажения трансформатора, связанные с нелинейностью кривой намагничивания. Очевидно, что с одной стороны искажения зависят от формы нелинейности передаточной характеристики, но также и от характера входного сигнала.
Например,
передаточная характеристика усилителя с плавным ограничением при
больших амплитудах не вызовет никаких искажений для синусоидальных
сигналов, меньших уровня ограничения, а при увеличении сигнала выше
этого уровня искажения появляются и будут увеличиваться. Такой характер
ограничения присущ в основном ламповым усилителям, что в какой-то
мере может служить одной из причин предпочтения таких усилителей
слушателями. И эту особенность использовала фирма NAD в серии своих
нашумевших усилителей с "мягким ограничением", выпускавшихся
с начала 80-х годов: возможность включения режима с имитацией лампового
ограничения создала многочисленную армию поклонников транзисторных
усилителей этой фирмы.
Напротив, характеристика усилителя с центральной отсечкой (искажения
типа "ступенька"), которая характерна для транзисторных
моделей, вызывает искажения музыкальных и малых синусоидальных сигналов,
а с увеличением уровня сигнала искажения будут уменьшаться. Таким
образом, искажение зависит не только от формы передаточной характеристики,
но также от статистического распределения уровней входного сигнала,
которое для музыкальных программ близко к шумовому сигналу. Поэтому,
кроме измерения КНИ с использованием синусоидального сигнала, возможен
метод измерений нелинейных искажений усилительных устройств с использованием
суммы трех синусоидальных или шумового сигнала, дающих в свете вышесказанного
более объективную картину искажений.
Коэффициент гармонических искажений (THD ).
Звуковой сигнал состоит из множества частот и полутонов. Гармоника - это полутон первоначальной ноты (основной частоты), который отвечает за характер звучания ноты. Звуковой сигнал можно представить как сложную комбинацию колебаний точно взаимосвязанных синусоидальных волн (гармоник).
В процессе усиления, проходя через различные блоки усилителя, звуковой сигнал искажается, "обрастая" ненужными гармониками. Возросшее количество гармоник в усиленном сигнале, выраженное в процентах, и есть коэффициент гармонических искажений (Total Harmonic Distorsion). В спецификации усилителя указываются несколько коэффициентов гармоник для различных частотных диапазонов, уровней выходной мощности и сопротивлений нагрузки. Чем меньше этот коэффициент, тем выше качество усилителя .
Типовое значение THD для Hi-Fi усилителя составляет 0,1%. Однако, уже не раз отмечалось: усилитель с THD 0,001% может оказаться хуже по звуку, чем другой, с THD 0,1%. Дело в том, что при таких малых значениях этого параметра, искажения сложно проследить в форме выходного сигнала или ощутить на слух. Поэтому, разницы между 0,1% и 0,001% слышно не будет.
Коэффицие́нт нелине́йных искаже́ний (КНИ или K Н ) - величина для количественной оценки нелинейных искажений .
Определение [ | ]
Коэффициент нелинейных искажений равен отношению среднеквадратичной суммы спектральных компонент выходного сигнала , отсутствующих в спектре входного сигнала, к среднеквадратичной сумме всех спектральных компонент входного сигнала
K H = U 2 2 + U 3 2 + U 4 2 + … + U n 2 + … U 1 2 + U 2 2 + U 3 2 + … + U n 2 + … {\displaystyle K_{\mathrm {H} }={\frac {\sqrt {U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+U_{4}^{2}+\ldots +U_{n}^{2}+\ldots }}{\sqrt {U_{1}^{2}+U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+\ldots +U_{n}^{2}+\ldots }}}}КНИ - безразмерная величина и выражается обычно в процентах. Кроме КНИ, уровень нелинейных искажений часто выражают и через коэффициент гармонических искажений (КГИ или K Г ) - величину, выражающую степень нелинейных искажений устройства (усилителя и др.) и равную отношению среднеквадратичного напряжения суммы высших гармоник сигнала, кроме первой, к напряжению первой гармоники при воздействии на вход устройства синусоидального сигнала.
K Γ = U 2 2 + U 3 2 + U 4 2 + … + U n 2 + … U 1 {\displaystyle K_{\Gamma }={\frac {\sqrt {U_{2}^{2}+U_{3}^{2}+U_{4}^{2}+\ldots +U_{n}^{2}+\ldots }}{U_{1}}}}КГИ, так же, как и КНИ, выражается в процентах и связан с ним соотношением
K Γ = K H 1 − K H 2 {\displaystyle K_{\Gamma }={\frac {K_{\mathrm {H} }}{\sqrt {1-K_{\mathrm {H} }^{2}}}}}Очевидно, что для малых значений КГИ и КНИ совпадают в первом приближении. Интересно, что в западной литературе обычно пользуются КГИ, тогда как в отечественной литературе традиционно предпочитают КНИ.
Важно также отметить, что КНИ и КГИ - это лишь количественные меры искажений , но не качественные. Например, значение КНИ (КГИ), равное 3% ничего не говорит о характере искажений, т.е. о том, как в спектре сигнала распределены гармоники, и каков, например, вклад НЧ или ВЧ составляющих. Так, в спектрах ламповых УМЗЧ обычно преобладают низшие гармоники, что часто воспринимается на слух как «тёплый ламповый звук», а в транзисторных УМЗЧ искажения более равномерно распределены по спектру, и он более плоский, что часто воспринимается как «типичный транзисторный звук» (хотя спор этот во многом зависит от личных ощущений и привычек человека).
Примеры расчёта КГИ [ | ]
Для многих стандартных сигналов КГИ может быть подсчитан аналитически. Так, для симметричного прямоугольного сигнала (меандра)
K Γ = π 2 8 − 1 ≈ 0.483 = 48.3 % {\displaystyle K_{\Gamma }\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{8}}-1\,}}\approx \,0.483\,=\,48.3\%}Идеальный пилообразный сигнал имеет КГИ
K Γ = π 2 6 − 1 ≈ 0.803 = 80.3 % {\displaystyle K_{\Gamma }\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{6}}-1\,}}\approx \,0.803\,=\,80.3\%}а симметричный треугольный
K Γ = π 4 96 − 1 ≈ 0.121 = 12.1 % {\displaystyle K_{\Gamma }\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{4}}{96}}-1\,}}\approx \,0.121\,=\,12.1\%}Несимметричный прямоугольный импульсный сигнал с соотношением длительности импульса к периоду, равному μ обладает КГИ
K Γ (μ) = μ (1 − μ) π 2 2 sin 2 π μ − 1 , 0 < μ < 1 {\displaystyle K_{\Gamma }\,(\mu)={\sqrt {{\frac {\mu (1-\mu)\pi ^{2}\,}{2\sin ^{2}\pi \mu }}-1\;}}\,\qquad 0<\mu <1} ,который достигает минимума (≈0.483) при μ =0.5, т.е. тогда, когда сигнал становится симметричным меандром. Кстати, фильтрованием можно добиться значительного снижения КГИ этих сигналов, и таким образом получать сигналы, близкие по форме к синусоидальным. Например, симметричный прямоугольный сигнал (меандр) с изначальным КГИ в 48.3%, после прохождения через фильтр Баттерворта второго порядка (с частотой среза, равной частоте основной гармоники) имеет КГИ уже в 5.3%, а если фильтр четвёртого порядка - то КГИ=0.6%. Следует отметить, что чем более сложный сигнал на входе фильтра и чем более сложный сам фильтр (а точнее, его передаточная функция), тем более громоздкими и трудоёмкими будут вычисления КГИ. Так, стандартный пилообразный сигнал, прошедший через фильтр Баттерворта первого порядка, имеет КГИ уже не 80.3% а 37.0%, который в точности даётся следующим выражением
K Γ = π 2 3 − π c t h π ≈ 0.370 = 37.0 % {\displaystyle K_{\Gamma }\,=\,{\sqrt {{\frac {\,\pi ^{2}}{3}}-\pi \,\mathrm {cth} \,\pi \,}}\,\approx \,0.370\,=\,37.0\%}А КГИ того же сигнала, прошедшего через такой же фильтр, но второго порядка, уже будет даваться достаточно громоздкой формулой
K Γ = π c t g π 2 ⋅ c t h 2 π 2 − c t g 2 π 2 ⋅ c t h π 2 − c t g π 2 − c t h π 2 2 (c t g 2 π 2 + c t h 2 π 2) + π 2 3 − 1 ≈ 0.181 = 18.1 % {\displaystyle K_{\Gamma }\,={\sqrt {\pi \,{\frac {\,\mathrm {ctg} \,{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\cdot \,\mathrm {cth} ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}-\,\mathrm {ctg} ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\cdot \,\mathrm {cth} \,{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}-\,\mathrm {ctg} \,{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}-\,\mathrm {cth} \,{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\;}{{\sqrt {2\,}}\left(\mathrm {ctg} ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}+\,\mathrm {cth} ^{2\!}{\dfrac {\pi }{\sqrt {2\,}}}\!\right)}}\,+\,{\frac {\,\pi ^{2}}{3}}\,-\,1\;}}\;\approx \;0.181\,=\,18.1\%}Если же рассматривать вышеупомянутый несимметричный прямоугольный импульсный сигнал, прошедший через фильтр Баттерворта p -го порядка, то тогда
K Γ (μ , p) = csc π μ ⋅ μ (1 − μ) π 2 − sin 2 π μ − π 2 ∑ s = 1 2 p c t g π z s z s 2 ∏ l = 1 l ≠ s 2 p 1 z s − z l + π 2 R e ∑ s = 1 2 p e i π z s (2 μ − 1) z s 2 sin π z s ∏ l = 1 l ≠ s 2 p 1 z s − z l {\displaystyle K_{\Gamma }\,(\mu ,p)=\csc \pi \mu \,\cdot \!{\sqrt {\mu (1-\mu)\pi ^{2}-\,\sin ^{2}\!\pi \mu \,-\,{\frac {\,\pi }{2}}\sum _{s=1}^{2p}{\frac {\,\mathrm {ctg} \,\pi z_{s}}{z_{s}^{2}}}\prod \limits _{\scriptstyle l=1 \atop \scriptstyle l\neq s}^{2p}\!{\frac {1}{\,z_{s}-z_{l}\,}}\,+\,{\frac {\,\pi }{2}}\,\mathrm {Re} \sum _{s=1}^{2p}{\frac {e^{i\pi z_{s}(2\mu -1)}}{z_{s}^{2}\sin \pi z_{s}}}\prod \limits _{\scriptstyle l=1 \atop \scriptstyle l\neq s}^{2p}\!{\frac {1}{\,z_{s}-z_{l}\,}}\,}}}где 0<μ <1 и
z l ≡ exp i π (2 l − 1) 2 p , l = 1 , 2 , … , 2 p {\displaystyle z_{l}\equiv \exp {\frac {i\pi (2l-1)}{2p}}\,\qquad l=1,2,\ldots ,2p}подробности вычислений - см. Ярослав Благушин и Эрик Моро .
Измерения [ | ]
- В низкочастотном (НЧ) диапазоне для измерения КНИ применяются измерители нелинейных искажений (измерители коэффициента гармоник).
- На более высоких частотах (СЧ, ВЧ) используют косвенные измерения с помощью анализаторов спектра или селективных вольтметров .