Интенсивность отказов среднее время безотказной работы. Частота отказов. Средняя частота отказов. Различают три вида отказов
Частотой отказов называется отношение числа отказавших образцов аппаратуры в единицу времени к числу образцов, первоначально установленных на испытание при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются исправными.
Так как число отказавших образцов в интервале времени может зависеть от расположения этого промежутка по оси времени, то частота отказов является функцией времени. Эта характеристика в дальнейшем обозначается α(t).
Согласно определению
где n(t) – число отказавших образцов в интервале времени от до ; N 0 – число образцов аппаратуры, первоначально установленных на испытание; – интервал времени.
Выражение (1.10) является статистическим определением частоты отказов. Этой количественной характеристике надежности легко дать вероятностное определение. Вычислим в выражении (1.10) n (t), т.е. число образцов, отказавших в интервале. Очевидно,
n(t) = -, (1.11)
где N(t) – число образцов, исправно работающих к моменту времени t; N(t + ) – число образцов, исправно работающих к моменту времени t + .
При достаточно большом числе образцов (N 0) справедливы соотношения:
N(t) = N 0 P(t);
N(t+ ) = N 0 P(t+ ). (1.12)
Подставляя выражение (1.11) в выражение (1.10) и учитывая выражение (1.12), получим:
,
а с учетом выражения (1.4) получим:
α(t) = Q / (t) (1.13)
Из выражения (1.13) видно, что частота отказов характеризует плотность распределения времени работы аппаратуры до ее отказа . Численно она равна взятой с обратным знаком производной от вероятности безотказной работы. Выражение (1.13) является вероятностным определением частоты отказов.
Таким образом, между частотой отказов, вероятностью безотказной работы и вероятностью отказов при любом законе распределения времени возникновения отказов существуют однозначные зависимости. Эти зависимости на основании (1.13) и (1.4) имеют вид:
. (1.15)
Частота отказов, являясь плотностью распределения, наиболее полно характеризует такое случайное явление, как время возникновения отказов. Вероятность безотказной работы, математическое ожидание, дисперсия и т.п. являются лишь удобными характеристиками распределения и всегда могут быть получены, если известна частота отказов α(t). В этом ее основное достоинство как характеристики надёжности.
Характеристика α(t) имеет также существенные недостатки. Эти недостатки становятся ясными при детальном рассмотрении выражения (1.10). При определении a(t) из экспериментальных данных фиксируется число отказавших образцов n(t) за промежуток времени при условии, что все отказавшие ранее образцы не восполняются исправными. Это означает, что частоту отказов можно использовать для оценки надежности только такой аппаратуры, которая после возникновения отказа не ремонтируется и в дальнейшем не эксплуатируется (например, аппаратуры разового использования, простейших элементов, не поддающихся ремонту, и т.п.). В противном случае частота отказов характеризует надежность аппаратуры лишь до первого ее отказа.
Оценить с помощью частоты отказов надежность аппаратуры длительного пользования, которая может ремонтироваться, затруднительно. Для этой цели необходимо иметь семейство кривых α(t), полученных: до первого отказа, между первым и вторым, вторым и третьим отказами и т.д. Следует, однако, заметить, что при отсутствии старения аппаратуры указанные частоты отказов будут совпадать. Поэтому α(t) хорошо характеризует надежность аппаратуры также в том случае, когда отказы подчиняются экспоненциальному распределению.
Надежность аппаратуры длительного использования можно характеризовать частотой отказов, полученной при условии замены отказавшей аппаратуры исправной. При этом внешне формула (1.10) не изменяется, однако меняется ее внутреннее содержание.
Частота отказов, полученная при условии замены отказавшей аппаратуры исправной (новой или восстановленной), иногда называется средней частотой отказов и обозначается .
Средней частотой отказов называется отношение числа отказавших образцов в единицу времени к числу испытываемых образцов при условии, что все образцы, вышедшие из строя, заменяются исправными (новыми или восстановленными).
Таким образом,
где n(t) – число отказавших образцов в интервале времени от до , N 0 – число испытываемых образцов (N 0 остается в процессе испытания постоянным, так как все отказавшие образцы заменяются исправными), – интервал времени.
Средняя частота отказов обладает следующими важными свойствами:
1) . Это свойство становится очевидным, если учесть, что ;
2) независимо от вида функции α(t) при средняя частота отказов стремится к некоторой постоянной величине;
3) главное достоинство средней частоты отказов как количественной характеристики надежности состоит в том, что она позволяет довольно полно оценить свойства аппаратуры, работающей в режиме смены элементов. К такой аппаратуре относятся сложные автоматические системы, предназначенные для длительного использования. Подобные системы после возникновения отказов ремонтируются и затем вновь эксплуатируются;
4) средняя частота отказов может быть также использована для оценки надежности сложных систем разового применения в процессе их хранения;
5) она также довольно просто позволяет определить число отказавших в аппаратуре элементов данного типа. Это свойство может быть использовано для вычисления необходимого количества элементов для нормальной эксплуатации аппаратуры в течение времени t. Поэтому является наиболее удобной характеристикой для ремонтных предприятий;
1) знание позволяет также правильно спланировать частоту профилактических мероприятий, структуру ремонтных органов, необходимое количество и номенклатуру запасных элементов.
К недостаткам средней частоты отказов следует отнести сложность определения других характеристик надежности, и в частности основной из них вероятности безотказной работы, при известной .
Сложная система состоит из большого числа элементов. Поэтому представляет интерес найти зависимость средней частоты отказов. Введем понятие суммарной частоты отказов сложной системы.
Суммарной частотой отказов называется число отказов аппаратуры в единицу времени, приходящееся на один ее экземпляр.
где - время исправной работы между и м отказами объекта; - число отказов объекта.
При достаточно большом числе отказов стремится к среднему времени между двумя соседними отказами. Если проводится испытание нескольких однотипных объектов, то среднее время между отказами определяют из выражения
число объектов. (1.11)
Интенсивность отказов – это отношение числа отказавших объектов в единицу времени к среднему числу объектов, продолжающих исправно работать в данный интервал времени:
(1.12)
здесь число отказавших объектов за промежуток времени от до , а 
где число исправно работающих объектов в начале интервала времени ; число исправно работающих объектов в конце интервала времени
В теории надёжности принята модель интенсивности отказов объекта, характеризуемая приведённой ниже кривой интенсивности отказов объекта в процессе эксплуатации.
Рисунок 1.3 - Модель интенсивности отказов объекта
Параметр потока отказов
– это отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки. Этот показатель используют для оценки безотказности восстанавливаемых объектов в процессе эксплуатации: в начальный период времени объект работает до отказа; после отказа происходит восстановление объекта, и объект вновь работает до отказа и так далее. При этом полагают, что восстановление объекта происходит мгновенно. Для таких объектов моменты отказов на оси суммарной наработки (оси времени) образуют поток отказов. В качестве характеристики потока отказов используют - «ведущую функцию» данного потока – математическое ожидание числа отказов за время t
: 
(1.13)
Параметр потока отказов характеризует среднее число отказов, ожидаемых на малом интервале времени
Статистически параметр потока отказов определяют по формуле
(1.15)
где число отказов восстанавливаемого объекта за интервал времени от до .
Средний ресурс - это математическое ожидание ресурса.
Гамма-процентный ресурс % - это наработка, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью , выраженной в процентах. Формула для расчёта аналогична формуле для гамма-процентной наработке до отказа.
Назначенный ресурс определяется как суммарная наработка объекта, при достижении которой применение по назначению должно быть прекращено.
Средний срок службы - математическое ожидание срока службы.
Гамма-процентный срок службы % - это календарная продолжительность от начала эксплуатации объекта, в течении которой он не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью , %.
Назначенный срок службы - календарная продолжительность эксплуатации объекта, при достижении которой применение по назначению объекта должно быть прекращено.
Назначенный ресурс и назначенный срок службы устанавливают на основании субъективных или организационных предположений, и они являются косвенными показателями надёжности.
Момент восстановления работоспособности объекта после отказа является случайным событием. Поэтому в качестве характеристики ремонтопригодности используется функция распределения этой случайной величины . Вероятностью восстановления называется вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния объекта не превысит заданного:
Вероятность не восстановления на заданном интервале , т.е. вероятность того, что равна
Рисунок 1.4 - Изменение вероятностей восстановления и не восстановления во времени
Плотность вероятности момента восстановления равна 
Средним временем восстановления является момент 1-го порядка (математическое ожидание) времени восстановления работоспособного состояния объекта.
(1.16)
Статистически среднее время восстановления равно где - время обнаружения и устранения - го отказа объекта.
Важным показателем ремонтопригодности объекта является интенсивность восстановления , которая, следуя общей методологии, аналогична показателю безотказности – интенсивности отказов .
Показатели сохраняемости – средний срок сохраняемости и гамма-процентный срок сохраняемости – определяются аналогично соответствующим показателям безотказности и долговечности. Средний срок сохраняемости – это математическое ожидание срока сохраняемости; а гамма-процентный срок сохраняемости – это срок сохраняемости, достигаемый объектом с заданной вероятностью , %.
Так как вероятностные характеристики отдельных свойств надёжности полагают независимыми, то для оценки нескольких свойств надёжности используют комплексныепоказатели. Рассмотрим применяемые в теории надёжности комплексные показатели.
Коэффициент готовности – это вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается
Коэффициент оперативной готовности
определяется как вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени : 
(1.18)
До этого момента такие объекты могут быть в режиме дежурства, но без выполнения заданных рабочих функций. В обоих режимах возможно возникновение отказов и восстановление работоспособности объекта.
Иногда пользуются коэффициентом простоя
Коэффициент технического использования – это отношение математическое ожидание интервала времени наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию интервалов времени пребывания объекта в состояниях простоев, обусловленных техническим обслуживанием и ремонтами, за тот же период эксплуатации
(1.20)
где математическое ожидание наработки восстанавливаемого объекта; математическое ожидание интервалов времени простоев при техническом обслуживании; математическое ожидание времени, затрачиваемого на плановые и внеплановые ремонты. характеризует долю времени объекта в работоспособном состоянии относительно рассматриваемой продолжительности эксплуатации.
Коэффициент планируемого применения – это отношение разности заданной продолжительности эксплуатации и математического ожидания суммарной продолжительности плановых технических обслуживаний и ремонтов за тот же период эксплуатации к значению этого периода
(1.21)
Коэффициент сохранения эффективности – отношение значения показателя эффективности за определённую продолжительность эксплуатации Э к номинальному значению показателя Э 0 , вычисленному при условии, что отказы объекта в течение того же периода эксплуатации не возникают. Этот коэффициент характеризует степень влияния отказов элементов объекта на эффективность его применения по назначению
При этом под эффективностью применения объекта понимают его свойство создавать определённый полезный результат (выходной эффект) в течение периода эксплуатации при определённых условиях. Показатель эффективности – показатель качества, характеризующий выполнение объектом его функций. Аналитические выражения для расчёта эффекта объектов различных типов приведены в ГОСТ 27.003-89. Выбор номенклатуры показателей надёжности и их нормирование осуществляют на основании ГОСТ 27.033-83.
1.4 Общий порядок обеспечения надёжности на стадиях
«жизненного» цикла объекта
В соответствии с ГОСТ 27.003-90 рассмотрим некоторые вопросы заданной темы.
1.4.1 Состав и общие правила задания требований на надёжность
1 При задании требований по надёжности определяют и согласовывают между заказчиком и разработчиком:
Типовую модель эксплуатации, применительно к которой задают требования по надёжности;
Критерии отказов по модели эксплуатации;
Критерии предельных состояний изделий, применительно к которым устанавливают требования по долговечности и сохраняемости;
Понятие «выходной эффект» для изделий, требования к которым установлены коэффициентом сохранения эффективности К эф . ;
Номенклатуру и значения показателей надёжности (ПН) в соответствии с принятой моделью эксплуатации;
Требования и ограничения по конструктивным, технологическим и эксплуатационным способам обеспечения надёжности, при необходимости с учётом экономических ограничений;
Необходимость разработки программы обеспечения надёжности.
2 Типовая модель эксплуатации изделий должна содержать:
Последовательность видов, режимов эксплуатации (хранения, транспортировки, развёртывания, ожидания применения по назначению, технического обслуживания и плановых ремонтов) с указанием их продолжительности;
Характеристику принятой системы технического обслуживания и ремонта, обеспечения запасными частями, инструментом и эксплуатационными материалами;
Уровни внешних воздействующих факторов и нагрузок для каждого вида, режима эксплуатации;
Численность и квалификацию обслуживающего и ремонтного персонала.
3 Номенклатура ПН выбирается по ГОСТ 27.002.
4 Общее количество, выбираемых ПН, должно быть минимальным.
5 Для восстанавливаемых изделий, как правило, задают комплексный ПН …, возможные сочетания задаваемых показателей К г и Т о; К г и Т в; Т о и Т в. Недопустимое сочетание К г, Т о, Т в.
6 Требования по надёжности включают в следующие документы:
Техническое задание (ТЗ) на разработку или модернизацию изделий;
Технические условия (ТУ) на изготовление продукции;
Стандарты общих технических требований (ОТТ), общих технических условий (ОТУ) и технических условий (ТУ).
В паспортах, формулярах, инструкциях и другой эксплуатационной документации требования по надёжности (ПН) указывают по согласованию между заказчиком и разработчиком в качестве справочных. Требования по надёжности могут включаться в договор на разработку и поставку изделий.
1.4.2 Порядок задания требований по надёжности на различных
стадиях жизненного цикла изделий
1 Требования по надёжности, включаемые в ТЗ, определяют на стадии исследования и разработки путём:
Анализа требований заказчика, условий эксплуатации, ограничений по всем видам затрат;
Выработки и согласования с заказчиком критериев отказов и предельных состояний;
Выбором рациональной номенклатуры ПН;
Установления значений ПН изделия и его составных частей.
2 На стадиях разработки изделия уточняются требования по надёжности путём:
Рассмотрения возможных вариантов построения изделия и расчёта ПН;
Выбора варианта, удовлетворяющего заказчика по совокупности ПН и затрат;
Уточнения значений ПН изделия и его составных частей.
3 В ТУ на серийное изделие включают те ПН, которые предполагается контролировать на этапе изготовления изделия.
4 На стадиях серийного производства и эксплуатации допускается коррекция значений ПН по результатам испытаний или эксплуатации.
5 Для сложных изделий при их отработке, опытном или серийном производстве допускается поэтапное задание значений ПН (при условии их повышения) и параметров планов контроля с учётом накопленных статистических данных по предшествующим изделиям-аналогам и по согласованию между заказчиком и разработчиком.
6 При наличии прототипов (аналогов) с достоверно известным уровнем надёжности состав работ по заданию требований по надёжности в пунктах 1 и 2 может быть сокращён за счёт тех показателей, информация по которым есть на момент формирования раздела ТЗ, ТУ «Требования по надёжности».
1.5 Аналитические зависимости между показателями надёжности
Зависимость между вероятностью безотказной работы и средней наработкой до отказа:
Отсюда, 
т.е. средняя наработка до отказа равна площади под кривой вероятности безотказной работы объекта.
Связь между вероятностью безотказной работы и интенсивностью отказов
Если на испытание поставлено N 0 объектов, то число объектов, которые будут исправно работать к моменту времени t , равно
Для момента времени
Число отказавших объектов
Тогда 
(1.24)
Так как - положительно определённая функция, то
(1.25)
Связь между вероятностью безотказной работы, интенсивностью отказов и средней наработкой до отказа.
(1.26)
Для , например, в нормальный период эксплуатации
(1.27)
При этом (1.28)
Зависимость между плотностью вероятности времени безотказной
работы и параметром потока отказов.
Пусть испытывается N 0 число объектов, причём, отказавшие объекты заменяются новыми (выборка с возмещением). Если объекты не восстанавливаемые, то параметр потока отказов равен
(1.29)
Среднее число отказавших объектов в интервале времени пропорционально значению , длине интервала времени и .
Критерием надежности называется признак, по которому можно количественно оценить надежность различных устройств. К числу наиболее широко применяемых критериев надежности относятся:
Вероятность безотказной работы в течение определенного времени P (t );
Tср ;
Наработка на отказ tср ;
Частота отказов f (t ) или а (t );
Интенсивность отказов λ(t );
Параметр потока отказов ω(t);
Функция готовности K г(t );
Коэффициент готовности K г.
Характеристикой надежности следует называть количественное значение критерия надежности конкретного устройства. Выбор количественных характеристик надежности зависит от вида объекта.
2.1.2. Критерии надежности невосстанавливаемых объектов
Рассмотрим следующую модель работы устройства. Пусть в работе (на испытании) находится N 0 элементов и работа считается законченной, если все они отказали. Причем вместо отказавших элементов отремонтированные не ставятся. Тогда критериями надежности данных изделий являются:
Вероятность безотказной работы P (t );
Частота отказов f (t ) или a (t );
Интенсивность отказов λ(t );
Средняя наработка до первого отказа Tср .
Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.
Согласно определению:
P (t ) = P (T > t ), (4.2.1)
где: T - время работы элемента от его включения до первого отказа;
t - время, в течение которого определяется вероятность безотказной работы.
Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением:
где: N 0 - число элементов в начале работы (испытаний);
n (t ) - число отказавших элементов за время t ;
Статистическая оценка вероятности безотказной работы. При большом числе элементов (изделий) N 0 статистическая оценка P (t ) практически совпадает с вероятностью безотказной работы P (t ). На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность отказа Q (t ).
Вероятностью отказа называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникает хотя бы один отказ. Отказ и безотказная работа являются событиями несовместными и противоположными, поэтому:
Частотой отказов по статистическим данным называется отношение числа отказавших элементов в единицу времени к первоначальному числу работающих (испытываемых) при условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются. Согласно определению:
где: n (Δt ) - число отказавших элементов в интервале времени от (t – Δt ) / 2 до (t + Δt ) / 2.
Частота отказов есть плотность вероятности (или закон распределения) времени работы изделия до первого отказа. Поэтому:
Интенсивностью отказов по статистическим данным называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени. Согласно определению
где: - среднее число исправно работающих элементов в интервале Δt ;
Ni - число изделий, исправно работающих в начале интервала Δt ;
Ni +1 - число элементов, исправно работающих в конце интервала Δt .
Вероятностная оценка характеристики λ(t ) находится из выражения:
λ(t ) = f (t ) / P (t ). (4.2.7)
Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны между
собой зависимостью:
Средней наработкой до первого отказа называется математическое ожидание времени работы элемента до отказа. Как математическое ожидание, Tср вычисляется через частоту отказов (плотность распределения времени безотказной работы):
Так как t положительно и P (0)=1, а P (∞) = 0, то:
По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого отказа вычисляется по формуле
где: t i - время безотказной работы i -го элемента;
N 0 - число исследуемых элементов.
Как видно из формулы (4.2.11), для определения средней наработки до первого отказа необходимо знать моменты выхода из строя всех испытуемых элементов. Поэтому для вычисления средней наработки на отказ пользоваться указанной формулой неудобно. Имея данные о количестве вышедших из строя элементов ni в каждом i -м интервале времени, среднюю наработку до первого отказа лучше определять из уравнения:
В выражении (4.2.12) tсрi и m находятся по следующим формулам:
t cpi = (t i –1 + t i ) / 2, m = t k / Δt ,
где: t i –1 - время начала i -го интервала;
t i - время конца i -го интервала;
t k - время, в течение которого вышли из строя все элементы;
Δt = (t i –1 – t 1) - интервал времени.
Из выражений для оценки количественных характеристик надежности видно, что все характеристики, кроме средней наработки до первого отказа, являются функциями времени. Конкретные выражения для практической оценки количественных характеристик надежности устройств рассмотрены в разделе «Законы распределения отказов».
Рассмотренные критерии надежности позволяют достаточно полно оценить надежность невосстанавливаемых изделий. Они также позволяют оценить надежность восстанавливаемых изделий до первого отказа . Наличие нескольких критериев вовсе не означает, что всегда нужно оценивать надежность элементов по всем критериям.
Наиболее полно надежность изделий характеризуется частотой отказов f (t ) или a (t ). Это объясняется тем, что частота отказов является плотностью распределения, а поэтому несет в себе всю информацию о случайном явлении - времени безотказной работы.
Средняя наработка до первого отказа является достаточно наглядной характеристикой надежности. Однако применение этого критерия для оценки надежности сложной системы ограничено в тех случаях, когда:
Время работы системы гораздо меньше среднего времени безотказной работы;
Закон распределения времени безотказной работы не однопараметрический и для достаточно полной оценки требуются моменты высших порядков;
Система резервированная;
Интенсивность отказов не постоянная;
Время работы отдельных частей сложной системы разное.
Интенсивность отказов - наиболее удобная характеристика надежности простейших элементов, так как она позволяет более просто вычислять количественные характеристики надежности сложной системы.
Наиболее целесообразным критерием надежности сложной системы является вероятность безотказной работы . Это объясняется следующими особенностями вероятности безотказной работы:
Она входит в качестве сомножителя в другие, более общие характеристики системы, например, в эффективность и стоимость;
Характеризует изменение надежности во времени;
Может быть получена сравнительно просто расчетным путем в процессе проектирования системы и оценена в процессе ее испытания.
2.1.3. Критерии надежности восстанавливаемых объектов
Рассмотрим следующую модель работы. Пусть в работе находится N элементов и отказавшие элементы немедленно заменяются исправными (новыми или отремонтированными). Если не учитывать времени, потребного на восстановление системы, то количественными характеристиками надежности могут быть параметр потока отказов ω(t) и наработка на отказ tср .
Параметром потока отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых при условии, что все вышедшие из строя изделия заменяются исправными (новыми или отремонтированными). Статистическим определением служит выражение:
где: n (Δt ) - число отказавших образцов в интервале времени от t – Δt /2
до t +Δt /2;
N - число испытываемых элементов;
Δt - интервал времени.
Параметр потока отказов и частота отказов для ординарных потоков с ограниченным последействием связаны интегральным уравнением Вольтера второго рода:
По известной f (t ) можно найти все количественные характеристики надежности невосстанавливаемых изделий. Поэтому (4.2.14) является основным уравнением, связывающим количественные характеристики надежности невосстанавливаемых и восстанавливаемых элементов при мгновенном восстановлении.
Уравнение (4.2.14) можно записать в операторной форме:
Соотношения (4.2.15) позволяют найти одну характеристику через другую, если существуют преобразования Лапласа функций f (s ) и ω (s ) и обратные преобразования выражений (4.2.15).
Параметр потока отказов обладает следующими важными свойствами:
1) для любого момента времени, независимо от закона распределения времени безотказной работы, параметр потока отказов больше, чем частота отказов, т. е. ω(t ) > f (t );
2) независимо от вида функций f (t ) параметр потока отказов ω(t ) при t → ∞ стремится к 1/Tср . Это важное свойство параметра потока отказов означает, что при длительной эксплуатации ремонтируемого изделия поток его отказов, независимо от закона распределения времени безотказной работы, становится стационарным. Однако это вовсе не означает, что интенсивность отказов есть величина постоянная;
3) если λ(t ) - возрастающая функция времени, то λ(t ) > ω(t ) > f (t ), если λ(t ) - убывающая функция, то ω(t ) > λ(t ) > f (t );
4) при λ(t ) ≠ const параметр потока отказов системы не равен сумме параметров потока отказов элементов, т. е.:
Это свойство параметра потока отказов позволяет утверждать, что при вычислении количественных характеристик надежности сложной системы нельзя суммировать имеющиеся в настоящее время значения интенсивности отказов элементов, полученных по статистическим данным об отказах изделий в условиях эксплуатации, так как указанные величины являются фактически параметрами потока отказов;
5) при λ(t ) = λ= const параметр потока отказов равен интенсивности отказов
ω(t ) = λ(t ) = λ.
Из рассмотрения свойств интенсивности и параметра потока отказов видно, что эти характеристики различны.
В настоящее время широко используются статистические данные об отказах, полученные в условиях эксплуатации оборудования. При этом они часто обрабатываются таким образом, что приводимые характеристики надежности являются не интенсивностью отказов, а параметром потока отказов ω(t ). Это вносит ошибки при расчетах надежности. В ряде случаев они могут быть значительными.
Для получения интенсивности отказов элементов из статистических данных об отказах ремонтируемых систем необходимо воспользоваться формулой (4.2.6), для чего необходимо знать предысторию каждого элемента технологической схемы. Это может существенно усложнить методику сбора статистических данных об отказах. Поэтому целесообразно определять λ(t ) по параметру потока отказов ω(t ). Методика расчета сводится
к следующим вычислительным операциям:
По статистическим данным об отказах элементов ремонтируемых изделий и по формуле (4.2.13) вычисляется параметр потока отказов и строится гистограмма ω i (t );
Гистограмма заменяется кривой, которая аппроксимируется уравнением;
Находится преобразование Лапласа ω i (s ) функции ω i (t );
По известной ω i (s ) на основании (4.2.15) записывается преобразование Лапласа f i (s ) частоты отказов;
По известной f i (s ) находится обратное преобразование частоты отказов f i (t );
Находится аналитическое выражение для интенсивности отказов по формуле:
Строится график λ i (t ).
Если имеется участок, где λ i (t ) = λ i = const, то постоянное значение интенсивности отказов принимается для оценки вероятности безотказной работы. При этом считается справедливым экспоненциальный закон надежности.
Приведенная методика не может быть применена, если не удается найти по f (s ) обратное преобразование частоты отказов f (t ). В этом случае приходится применять приближенные методы решения интегрального уравнения (4.2.14).
Наработкой на отказ называется среднее значение времени между соседними отказами. Эта характеристика определяется по статистическим данным об отказах по формуле:
где: t i - время исправной работы элемента между (i – 1)-м и i -м отказами;
n - число отказов за некоторое время t .
Из формулы (4.2.18) видно, что в данном случае наработка на отказ определяется по данным испытания одного образца изделия. Если на испытании находится N образцов в течение времени t , то наработка на отказ вычисляется по формуле:
где: t ij - время исправной работы j -го образца изделия между (i – 1)-м и i -м отказом;
n j - число отказов за время tj -го образца.
Наработка на отказ является достаточно наглядной характеристикой надежности, поэтому она получила широкое распространение на практике. Параметр потока отказов и наработка на отказ характеризуют надежность восстанавливаемого изделия и не учитывают времени, необходимого на его восстановление. Поэтому они не характеризуют готовности устройства к выполнению своих функций в нужное время. Для этой цели вводятся такие критерии, как коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя.
Коэффициентом готовности называется отношение времени исправной работы к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев устройства, взятых за один и тот же календарный срок. Эта характеристика по статистическим данным определяется:
где: t р - суммарное время исправной работы изделия;
t п - суммарное время вынужденного простоя.
Времена tр и tп вычисляются по формулам:
где: t рi - время работы изделия между (i – 1)-м и i -м отказом;
t пi - время вынужденного простоя после i -го отказа;
n - число отказов (ремонтов) изделия.
Для перехода к вероятностной трактовке величины tр и tп заменяются математическими ожиданиями времени между соседними отказами и времени восстановления соответственно. Тогда:
K r = t cp / (t cp + t в ), (4.2.22)
где: t ср - наработка на отказ;
t в - среднее время восстановления.
Коэффициентом вынужденного простоя называется отношение времени вынужденного простоя к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок.
Согласно определению:
K п = t p / (t p + t п ), (4.2.23)
или, переходя к средним величинам:
K п = t в / (t cp + t в ). (4.2.24)
Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между собой зависимостью:
K п = 1– K г . (4.2.25)
При анализе надежности восстанавливаемых систем обычно коэффициент готовности вычисляют по формуле:
K г =T cp / (T cp + t в ). (4.2.26)
Формула (4.2.26) верна только в том случае, если поток отказов простейший, и тогда t ср = T ср .
Часто коэффициент готовности, вычисленный по формуле (4.2.26), отождествляют с вероятностью того, что в любой момент времени восстанавливаемая система исправна. На самом деле указанные характеристики неравноценны и могут быть отождествлены при определенных допущениях.
Действительно, вероятность возникновения отказа ремонтируемой системы в начале эксплуатации мала. С ростом времени t эта вероятность возрастает. Это означает, что вероятность застать систему в исправном состоянии в начале эксплуатации будет выше, чем после истечения некоторого времени. Между тем на основании формулы (4.2.26) коэффициент готовности не зависит от времени работы.
Для выяснения физического смысла коэффициента готовности Kг запишем формулу для вероятности застать систему в исправном состоянии. При этом рассмотрим наиболее простой случай, когда интенсивность отказов λ и интенсивность восстановления μ есть величины постоянные.
Предполагая, что при t = 0 система находится в исправном состоянии (P (0) = 1), вероятность застать систему в исправном состоянии определяется из выражений:
где λ = 1 /T cp ; μ = 1 / t в ; K г =T cp / (T cp + t в ).
Это выражение устанавливает зависимость между коэффициентом готовности системы и вероятностью застать ее в исправном состоянии в любой момент времени t .
Из
(4.2.27) видно, что
приt
→
∞,
т. е. практически коэффициент готовности
имеет смысл вероятности застать изделие
в исправном состоянии при установившемся
процессе эксплуатации.
В некоторых случаях критериями надежности восстанавливаемых систем могут быть критерии невосстанавливаемых систем , например: вероятность работы, частота отказов, средняя наработка до первого отказа, интенсивность отказов . Такая необходимость возникает :
Когда имеет смысл оценивать надежность восстанавливаемой системы до первого отказа;
В случае, когда применяется резервирование с восстановлением отказавших резервных устройств в процессе работы системы, причем отказ всей резервированной системы не допускается.
Интенсивность отказов - условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник.
Таким образом, статистически интенсивность отказов равна числу отказов, происшедших за единицу времени, отнесенному к числу не отказавших к данному моменту объектов.
Типичное изменение интенсивности отказов во времени показано на рис. 5.
Опыт эксплуатации сложных систем показывает, что изменение интенсивности отказов λ(t ) большинства количества объектов описывается U - образной кривой.
Время можно условно разделить на три характерных участка: 1. Период приработки. 2. Период нормальной эксплуатации. 3. Период старения объекта.
Рис. 5. Типичное изменение интенсивности отказов
Период приработки объекта имеет повышенную интенсивность отказов, вызванную приработочными отказами, обусловленными дефектами производства, монтажа и наладки. Иногда с окончанием этого периода связывают гарантийное обслуживание объекта, когда устранение отказов производится изготовителем. В период нормальной эксплуатации интенсивность отказов практически остаётся постоянной, при этом отказы носят случайный характер и появляются внезапно, прежде всего, из-за случайных изменений нагрузки, несоблюдения условий эксплуатации, неблагоприятных внешних факторов и т.п. Именно этот период соответствует основному времени эксплуатации объекта.
Возрастание интенсивности отказов относится к периоду старения объекта и вызвано увеличением числа отказов из-за износа, старения и других причин, связанных с длительной эксплуатацией. То есть вероятность отказа элемента, дожившего для момента t в некотором последующем промежутке времени зависит от значений λ(u ) только на этом промежутке, а следовательно интенсивность отказов - локальный показатель надёжности элемента на данном промежутке времени.
Тема 1.3. Надежность восстанавливаемых систем
Современные системы автоматики относятся к сложным восстанавливаемым системам. Такие системы в процессе работы, при отказе некоторых элементов ремонтируются и продолжают дальнейшую работу. Свойство систем восстанавливаться в процессе работы "закладывается" при их проектировании и обеспечивается при изготовлении, а проведение ремонтно-восстановительных операций предусмотрено в нормативно- технической документации.
Проведение ремонтно-восстановительных мероприятий является по существу еще одним способом, направленным на повышение надежности системы.
1.3.1. Показатели надежности восстанавливаемых систем
С количественной стороны такие системы кроме рассмотренных ранее показателей надежности, характеризуются еще и комплексными показателями надежности.
Комплексным показателем надежности является показатель надежности, характеризующий несколько свойств, составляющих надежность объекта.
Комплексными показателями надежности, которые наиболее широко применяются при характеристике надежности восстанавливаемых систем, являются:
Коэффициент готовности;
Коэффициент оперативной готовности;
Коэффициент технического использования.
Коэффициент готовности - вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых перерывов, в течении которых применение объекта по назначению не предусматривается.
Таким образом, коэффициент готовности характеризует одновременно два различных свойства объекта - безотказность и ремонтопригодность.
Коэффициент готовности является важным параметром, однако, он не является универсальным.
Коэффициент оперативной готовности - вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых перерывов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается, и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.
Коэффициент характеризует надежность объектов, необходимость применения которых возникает в произвольный момент времени, после которого требуется определенная безотказная работа. До этого момента аппаратура может находиться в режиме дежурства, режим применения в других рабочих функциях.
Коэффициент технического использования - отношение математического ожидания интервалов времени пребывания объектов в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математических ожиданий интервалов времени пребывания объекта в работоспособном состоянии, простоев, обусловленных техническим обслуживанием, и ремонтов за тот же период эксплуатации.
1.1 Вероятность безотказной работы
Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.
Вероятность безотказной работы обозначается как P
(l
)
, которая определяется по формуле (1.1):
где
N
0 - число элементов в начале испытания;
r
(l
) - число отказов элементов к моменту наработки.
Следует отметить, что чем больше величина
N
0
, тем с большей точностью можно рассчитать вероятность
P
(l).
В начале эксплуатации исправного локомотива P
(0)
= 1, так как при пробеге l
= 0 вероятность того, что ни один элемент не откажет, принимает максимальное значение - 1. С ростом пробега l
вероятность P
(l
) будет уменьшаться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность безотказной работы будет стремиться к нулю P
(l
→∞)
= 0. Таким образом в процессе наработки величина вероятности безотказной работы изменяется в пределах от 1 до 0. Характер изменения вероятности безотказной работы в функции пробега показан на рис. 1.1.
Рис.2.1. График изменения вероятности безотказной работы P(l) в зависимости от наработки
Основными достоинствами использования данного показателя при расчетах является два фактора: во-первых, вероятность безотказной работы охватывает все факторы, влияющие на надежность элементов, позволяя достаточно просто судить о его надежности, т.к. чем больше величина P (l ), тем выше надежность; во-вторых, вероятность безотказной работы может быть использована в расчетах надежности сложных систем, состоящих из более чем одного элемента.
1.2 Вероятность отказа
Вероятностью отказа называют вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в предела
х заданной наработки произойдет хотя бы один отказ.
Вероятность отказа обозначается как Q
(l
), которая определяется по формуле (1.2):
В начале эксплуатации исправного локомотива Q (0) = 0, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что хотя бы один элемент откажет, принимает минимальное значение - 0. С ростом пробега l вероятность отказа Q (l ) будет увеличиваться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность отказа будет стремиться к единице Q (l →∞ ) = 1. Таким образом в процессе наработки величина вероятности отказа изменяется в пределах от 0 до 1. Характер изменения вероятности отказа в функции пробега показан на рис. 1.2. Вероятность безотказной работы и вероятность отказа являются событиями противоположными и несовместимыми.
Рис.2.2. График изменения вероятности отказа Q(l) в зависимости от наработки
1.3 Частота отказов
Частота отказов - это отношение числа элементов в единицу времени или пробега отнесенного к первоначальному числу испытуемых элементов. Другими словами частота отказов является показателем, характеризующим скорость изменения вероятности отказов и вероятности безотказной работы по мере роста длительности работы.
Частота отказов обозначается как и определяется по формуле (1.3):
где - количество отказавших элементов за промежуток пробега .
Данный показатель позволяет судить по его величине о числе элементов, которые откажут на каком-то промежутке времени или пробега, также по его величине можно рассчитать количество требуемых запасных частей.
Характер изменения частоты отказов в функции пробега показан на рис. 1.3.
Рис. 1.3. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки
1.4 Интенсивность отказов
Интенсивность отказов представляет собой условную плотность возникновения отказа объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени или наработки при условии, что до этого момента отказ не возник. Иначе интенсивность отказов - это отношение числа отказавших элементов в единицу времени или пробега к числу исправно работающих элементов в данный отрезок времени.
Интенсивность отказов обозначается как и определяется по формуле (1.4):
где 
Как правило, интенсивность отказов является неубывающей функцией времени. Интенсивность отказов обычно применяется для оценки склонности к отказам в различные моменты работы объектов.
На рис. 1.4. представлен теоретический характер изменения интенсивности отказов в функции пробега.
Рис. 1.4. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки
На графике изменения интенсивности отказов, изображенном на рис. 1.4. можно выделить три основных этапа отражающих процесс экс-плуатации элемента или объекта в целом.
Первый этап, который также называется этапом приработки, характеризуется увеличением интенсивности отказов в начальный период эксплуатации. Причиной роста интенсивности отказов на данном этапе являются скрытые дефекты производственного характера.
Второй этап, или период нормальной работы, характеризуется стремлением интенсивности отказов к постоянному значению. В течение этого периода могут возникать случайные отказы, в связи с появлением внезапной концентрации нагрузки, превышающей предел прочности элемента.
Третий этап, так называемый период форсированного старения. Характеризуется возникновением износовых отказов. Дальнейшая эксплуатация элемента без его замены становится экономически не рациональной.
1.5 Средняя наработка до отказа
Средняя наработка до отказа - это средний пробег безотказной работы элемента до отказа.
Средняя наработка до отказа обозначается как L
1 и определяется по формуле (1.5):
где l
i
- наработка до отказа элемента; r
i
- число отказов.
Средняя наработка до отказа может быть использована для предварительного определения сроков ремонта или замены элемента.
1.6 Среднее значение параметра потока отказов
Среднее значение параметра потока отказов характеризует среднюю плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени.
Среднее значение параметра потока отказов обозначается как W
ср и определяется по формуле (1.6):
1.7 Пример расчета показателей безотказности
Исходные данные.
В течение пробега от 0 до 600 тыс. км., в локомотивном депо произведен сбор информации по отказам ТЭД. При этом количество исправных ТЭД в начале периода эксплуатации составляло N0
= 180 шт. Суммарное количество отказавших ТЭД за анализируемый период составило ∑r(600000) = 60. Интервал пробега принять равным 100 тыс. км. При этом количество отказавших ТЭД по каждому участку составило: 2, 12, 16, 10, 14, 6.
Требуется.
Необходимо рассчитать показатели безотказности и построить их зависимости изменения во времени.
Сначала необходимо заполнить таблицу исходных данных так, как это показано в табл. 1.1.
Таблица 1.1.
| , тыс. км | 0 - 100 | 100 - 200 | 200 - 300 | 300 - 400 | 400 - 500 | 500 - 600 |
| 2 | 12 | 16 | 10 | 14 | 6 | |
| 2 | 14 | 30 | 40 | 54 | 60 |
Первоначально по уравнению (1.1) определим для каждого участка пробега величину вероятности безотказной работы. Так, для участка от 0 до 100 и от 100 до 200 тыс. км. пробега вероятность безотказной работы составит:
Произведем расчет частоты отказов по уравнению (1.3).
Тогда интенсивность отказов на участке 0-100 тыс.км. будет равна:
Аналогичным образом определим величину интенсивности отказов для интервала 100-200 тыс. км.
По уравнениям (1.5 и 1.6) определим среднюю наработку до отказа и среднее значение параметра потока отказов.
Систематизируем полученные результаты расчета и представим их в виде таблицы (табл. 1.2.).
Таблица 1.2.
| , тыс.км. | 0 - 100 | 100 - 200 | 200 - 300 | 300 - 400 | 400 - 500 | 500 - 600 |
| 2 | 12 | 16 | 10 | 14 | 6 | |
| 2 | 14 | 30 | 40 | 54 | 60 | |
| P(l) | 0,989 | 0,922 | 0,833 | 0,778 | 0,7 | 0,667 |
| Q(l) | 0,011 | 0,078 | 0,167 | 0,222 | 0,3 | 0,333 |
| 10 -7 , 1/км | 1,111 | 6,667 | 8,889 | 5,556 | 7,778 | 3,333 |
| 10 -7 , 1/км | 1,117 | 6,977 | 10,127 | 6,897 | 10,526 | 4,878 |
Приведем характер изменения вероятности безотказной работы ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.5.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности безотказной работы примет максимальное значение - 1.
Рис. 1.5. График изменения вероятности безотказной работы в зависимости от наработки
Приведем характер изменения вероятности отказа ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.6.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности отказа примет минимальное значение - 0.
Рис. 1.6. График изменения вероятности отказа в зависимости от наработки
Приведем характер изменения частоты отказов ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.7.).
Рис. 1.7. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки
На рис. 1.8. представлена зависимость изменения интенсивности отказов от наработки.
Рис. 1.8. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки
2.1 Экспоненциальный закон распределения случайных величин
Экспоненциальный закон достаточно точно описывает надежность узлов при внезапных отказах, имеющих случайный характер. Попытки применить его для других типов и случаев отказов, особенно постепенных, вызванных износом и изменением физико-химических свойств элементов показали его недостаточную приемлемость.
Исходные данные.
В результате испытания десяти топливных насосов высокого давления получены наработки их до отказа: 400, 440, 500, 600, 670, 700, 800, 1200, 1600, 1800 ч. Предполагая, что наработка до отказа топливных насосов подчиняется экспоненциальному закону распределения.
Требуется.
Оценить величину интенсивности отказов, а также рассчитать вероятность безотказной работы за первые 500 ч. и вероятность отказа в промежутке времени между 800 и 900 ч. работы дизеля.
Во-первых, определим величину средней наработки топливных насосов до отказа по уравнению:
Затем рассчитываем величину интенсивности отказов:
Величина вероятности безотказной работы топливных насосов при наработке 500 ч составит:
Вероятность отказа в промежутке между 800 и 900 ч. работы насосов составит:
2.2 Закон распределения Вэйбулла-Гнеденко
Закон распределения Вейбулла-Гнеденко получил широкое распространение и используется применительно к системам, состоящим из рядов элементов, соединенных последовательно с точки зрения обеспечения безотказности системы. Например, системы, обслуживающие дизель-генераторную установку: смазки, охлаждения, питания топливом, воздухом и т.д.
Исходные данные.
Время простоя тепловозов в неплановых ремонтах по вине вспомогательного оборудования подчиняется закону распределения Вейбулла-Гнеденко с параметрами b=2 и a=46.
Требуется.
Необходимо определить вероятность выхода тепловозов из неплановых ремонтов после 24 ч. простоя и время простоя, в течение которого работоспособность будет восстановлена с вероятностью 0,95.
Найдем вероятность восстановления работоспособности локомотива после простоя его в депо в течение суток по уравнению:
Для определения времени восстановления работоспособности локомотива с заданной величиной доверительной вероятности также используем выражение:
2.3 Закон распределения Рэлея
Закон распределения Рэлея используется в основном для анализа работы элементов, имеющих ярко выраженный эффект старения (элементы электрооборудования, различного рода уплотнения, шайбы, прокладки, изготовленные из резиновых или синтетических материалов).
Исходные данные.
Известно, что наработки контакторов до отказа по параметрам старения изоляции катушек можно описать функцией распределения Рэлея с параметром S = 260 тыс.км.
Требуется.
Для величины наработки 120 тыс.км. необходимо определить вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднюю наработку до первого отказа катушки электромагнитного контактора.
3.1 Основное соединение элементов
Система, состоящая из нескольких независимых элементов, связанных функционально таким образом, что отказ любого из них вызывает отказ системы, отображается расчетной структурной схемой безотказной работы с последовательно соединенными событиями безотказной работы элементов.
Исходные данные.
Нерезервированная система состоит из 5 элементов. Интенсивности их отказов соответственно равны 0,00007; 0,00005; 0,00004; 0,00006; 0,00004 ч-1
Требуется.
Необходимо определить показатели надежности системы: интенсивность отказов, среднее время наработки до отказа, вероятность безотказной работы, частота отказов. Показатели надежности P(l) и a(l) получить в интервале от 0 до 1000 часов с шагом в 100 часов.
Вычислим интенсивность отказа и среднюю наработку до отказа по следующим уравнениям:
Значения вероятности безотказной работы и частоты отказов получим, используя уравнения приведенные к виду:
Результаты расчета P(l) и a(l) на интервале от 0 до 1000 часов работы представим в виде табл. 3.1.
Таблица 3.1.
| l , час | P(l) | a(l) , час -1 |
| 0 | 1 | 0,00026 |
| 100 | 0,974355 | 0,000253 |
| 200 | 0,949329 | 0,000247 |
| 300 | 0,924964 | 0,00024 |
| 400 | 0,901225 | 0,000234 |
| 500 | 0,878095 | 0,000228 |
| 600 | 0,855559 | 0,000222 |
| 700 | 0,833601 | 0,000217 |
| 800 | 0,812207 | 0,000211 |
| 900 | 0,791362 | 0,000206 |
| 1000 | 0,771052 | 0,0002 |
Графическая иллюстрация P(l) и a(l) на участке до средней наработки до отказа представлена на рис. 3.1, 3.2.
Рис. 3.1. Вероятность безотказной работы системы.
Рис. 3.2. Частота отказов системы.
3.2 Резервное соединение элементов
Исходные данные.
На рис. 3.3 и 3.4 показаны две структурные схемы соединения элементов: общего (рис. 3.3) и поэлементного резервирования (рис. 3.4). Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны P1(l) = P ’1(l) = 0,95; P2(l) = P’2(l) = 0,9; P3(l) = P ’3(l) = 0,85.
Рис. 3.3. Схема системы с общим резервированием.
Рис. 3.4. Схема системы с поэлементным резервированием.
Вероятность безотказной работы блока из трех элементов без резервирования рассчитаем по выражению:
Вероятность безотказной работы той же системы при общем резервировании (рис. 3.3) составит:
Вероятности безотказной работы каждого из трех блоков при поэлементном резервировании (рис. 3.4) будут равны:
Вероятность безотказной работы системы при поэлементном резервировании составит:
Таким образом, поэлементное резервирование дает более существенное увеличение надежности (вероятность безотказной работы возросла с 0,925 до 0,965, т.е. на 4%).
Исходные данные.
На рис. 3.5 представлена система с комбинированным соединением элементов. При этом вероятности безотказной работы элементов имеют следующие значения: P1=0,8; Р2=0,9; Р3=0,95; Р4=0,97.
Требуется.
Необходимо определить надежность системы. Также необходимо определить надежность этой же системы при условии, что резервные элементы отсутствуют.
Рис.3.5. Схема системы при комбинированном функционировании элементов.
Для расчета в исходной системе необходимо выделить основные блоки. В представленной системе их три (рис. 3.6). Далее рассчитаем надежность каждого блока в отдельности, а затем найдем надежность всей системы.
Рис. 3.6. Сблокированная схема.
Надежность системы без резервирования составит:
Таким образом, система без резервирования является на 28% менее надежной, чем система с резервированием.